虚数单位
在数学、物理及工程学里，虚数单位是指二次方程
x
2
+
1
=
0
{\displaystyle x^{2}+1=0}
的解。虽然没有这样的实数可以满足这个二次方程，但可以通过虚数单位将实数系统
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
延伸至复数系统
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
。延伸的主要动机为有很多实系数多项式方程式无实数解。例如刚才提到的方程式
x
2
+
1
=
0
{\displaystyle x^{2}+1=0}
就无实数解。可是倘若我们允许解答为虚数，那么这方程式以及所有的多项式方程式都有解。虚数单位标记为
i
{\displaystyle i}
，在电机工程和相关领域中则标记为
j
{\displaystyle j}
，这是为了避免与电流（记为
i
(
t
)
{\displaystyle i(t)}
或
i
{\displaystyle i}
）混淆。
虚数单位
i
{\displaystyle i}
在复平面的位置。横轴是实数，竖轴是虚数
各种各样的数
基本
N
⊆
Z
⊆
Q
⊆
R
⊆
C
{\displaystyle \mathbb {N} \subseteq \mathbb {Z} \subseteq \mathbb {Q} \subseteq \mathbb {R} \subseteq \mathbb {C} }
正数
R
+
{\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}
自然数
N
{\displaystyle \mathbb {N} }
正整数
Z
+
{\displaystyle \mathbb {Z} ^{+}}
小数有限小数无限小数循环小数有理数
Q
{\displaystyle \mathbb {Q} }
代数数
A
{\displaystyle \mathbb {A} }
实数
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
复数
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
高斯整数
Z
[
i
]
{\displaystyle \mathbb {Z} [i]}
负数
R
−
{\displaystyle \mathbb {R} ^{-}}
整数
Z
{\displaystyle \mathbb {Z} }
负整数
Z
−
{\displaystyle \mathbb {Z} ^{-}}
分数单位分数二进分数规矩数无理数超越数虚数
I
{\displaystyle \mathbb {I} }
二次无理数艾森斯坦整数
Z
[
ω
]
{\displaystyle \mathbb {Z} [\omega ]}
延伸
二元数四元数
H
{\displaystyle \mathbb {H} }
八元数
O
{\displaystyle \mathbb {O} }
十六元数
S
{\displaystyle \mathbb {S} }
超实数
∗
R
{\displaystyle ^{*}\mathbb {R} }
大实数上超实数
双曲复数双复数复四元数共四元数（英语：Dual quaternion）超复数超数超现实数
其他
素数
P
{\displaystyle \mathbb {P} }
可计算数基数阿列夫数同余整数数列公称值
规矩数可定义数序数超限数p进数数学常数
圆周率
π
=
3.14159265
{\displaystyle \pi =3.14159265}
…自然对数的底
e
=
2.718281828
{\displaystyle e=2.718281828}
…虚数单位
i
=
−
1
{\displaystyle i={\sqrt {-{1}}}}
无穷大
∞
{\displaystyle \infty }
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2i
-1+i
i
1+i
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-2
-1
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1
2
→
-1-i
-i
1-i
-2i
↓
目录
1 定义
2 i和-i
3 正当的使用
4 i的运算
5 在编程语言
6 注解
7 参见
8 参考文献
9 外部链接
定义
…
{\displaystyle \ldots }
i
−
3
=
i
{\displaystyle {{i}^{-{3}}}=i}
i
−
2
=
−
1
{\displaystyle {{i}^{-{2}}}=-1}
i
−
1
=
−
i
{\displaystyle {{i}^{-{1}}}=-i}
i
0
=
1
{\displaystyle {{i}^{0}}=1}
i
1
=
i
{\displaystyle {{i}^{1}}=i}
i
2
=
−
1
{\displaystyle {{i}^{2}}=-1}
i
3
=
−
i
{\displaystyle {{i}^{3}}=-i}
i
4
=
1
{\displaystyle {{i}^{4}}=1}
i
5
=
i
{\displaystyle {{i}^{5}}=i}
i
6
=
−
1
{\displaystyle {{i}^{6}}=-1}
…
{\displaystyle \ldots }
虚数单位
i
{\displaystyle i}
定义为二次方程式
x
2
+
1
=
0
{\displaystyle x^{2}+1=0}
的两个根中的一个。这方程式又可等价表达为：
x
2
=
−
1
{\displaystyle {{x}^{2}}=-1}
。由于实数的平方绝不可能是负数，我们假设有这么一个数目解答，给它设定一个符号
i
{\displaystyle i}
。很重要的一点是，
i
{\displaystyle i}
是一个良定义的数学构造。
另外，虚数单位同样可以表示为：
i
=
−
1
{\displaystyle i={\sqrt {-{1}}}}
然而
i
=
−
1
{\displaystyle i={\sqrt {-{1}}}}
往往被误认为是错的，他们的证明的方法是：
因为
−
1
=
i
⋅
i
=
(
−
1
)
×
(
−
1
)
=
(
−
1
)
×
(
−
1
)
=
1
=
1
{\displaystyle -1=i\cdot i=\left({\sqrt {-1}}\right)\times \left({\sqrt {-1}}\right)={\sqrt {\left(-1\right)\times \left(-1\right)}}={\sqrt {1}}=1}
，但是-1不等于1。但请注意：
a
⋅
b
=
a
⋅
b
{\displaystyle {\sqrt {a\cdot b}}={\sqrt {a}}\cdot {\sqrt {b}}}
成立的条件有
a
{\displaystyle a}
,
b
{\displaystyle b}
不能为负数。实数运算可以延伸至虚数与复数。当计算一个表达式时，我们只需要假设
i
{\displaystyle i}
是一个未知数，然后依照
i
{\displaystyle i}
的定义，替代任何
i
2
{\displaystyle i^{2}}
的出现为-1。
i
{\displaystyle i}
的更高整数幂数也可以替代为
−
i
{\displaystyle -i}
，
1
{\displaystyle 1}
，或
i
{\displaystyle i}
，根据下述方程式：
i
3
=
i
2
i
=
(
−
1
)
i
=
−
i
{\displaystyle i^{3}=i^{2}i=(-1)i=-i}
，
i
4
=
i
3
i
=
(
−
i
)
i
=
−
(
i
2
)
=
−
(
−
1
)
=
1
{\displaystyle i^{4}=i^{3}i=(-i)i=-(i^{2})=-(-1)=1}
，
i
5
=
i
4
i
=
(
1
)
i
=
i
{\displaystyle i^{5}=i^{4}i=(1)i=i}
。一般地，有以下的公式：
i
4
n
=
1
{\displaystyle i^{4n}=1}
i
4
n
+
1
=
i
{\displaystyle i^{4n+1}=i}
i
4
n
+
2
=
−
1
{\displaystyle i^{4n+2}=-1}
i
4
n
+
3
=
−
i
{\displaystyle i^{4n+3}=-i}
i
n
=
i
n
mod
4
{\displaystyle i^{n}=i^{n{\bmod {4}}}}
其中
mod
4
{\displaystyle {\bmod {4}}}
表示被4除的余数。
i和-i
方程
x
2
=
−
1
{\displaystyle x^{2}=-1}
有两个不同的解，它们都是有效的，且互为共轭虚数及倒数。更加确切地，一旦固定了方程的一个解
i
{\displaystyle i}
，那么
−
i
{\displaystyle -i}
（不等于
i
{\displaystyle i}
）也是一个解，由于这个方程是
i
{\displaystyle i}
的唯一的定义，因此这个定义表面上有歧义。然而，只要把其中一个解选定，并固定为
i
{\displaystyle i}
，那么实际上是没有歧义的。这是因为，虽然
−
i
{\displaystyle -i}
和
i
{\displaystyle i}
在数量上不是相等的（它们是一对共轭虚数），但是
i
{\displaystyle i}
和
−
i
{\displaystyle -i}
之间没有质量上的区别（-1和+1就不是这样的）。在任何的等式中同时将所有i替换为-i，该等式仍成立。
−
i
2
=
1
{\displaystyle -i^{2}=1}
−
i
=
i
−
1
=
1
i
{\displaystyle -i=i^{-1}={\frac {1}{i}}}
正当的使用
虚数单位有时记为
−
1
{\displaystyle {\sqrt {-1}}}
。但是，使用这种记法时需要非常谨慎，这是因为有些在实数范围内成立的公式在复数范围内并不成立。例如，公式
a
⋅
b
=
a
⋅
b
{\displaystyle {\sqrt {a}}\cdot {\sqrt {b}}={\sqrt {a\cdot b}}}
仅对于非负的实数
a
{\displaystyle a}
和
b
{\displaystyle b}
才成立。
假若这个关系在虚数仍成立，则会出现以下情况：
−
1
=
i
⋅
i
=
−
1
⋅
−
1
=
(
−
1
)
⋅
(
−
1
)
=
1
=
1
{\displaystyle -1=i\cdot i={\sqrt {-1}}\cdot {\sqrt {-1}}={\sqrt {(-1)\cdot (-1)}}={\sqrt {1}}=1}
（不正确）
−
1
=
i
⋅
i
=
±
−
1
⋅
±
−
1
=
±
(
−
1
)
⋅
(
−
1
)
=
±
1
=
±
1
{\displaystyle -1=i\cdot i=\pm {\sqrt {-1}}\cdot \pm {\sqrt {-1}}=\pm {\sqrt {(-1)\cdot (-1)}}=\pm {\sqrt {1}}=\pm 1}
（不正确）
1
i
=
1
−
1
=
1
−
1
=
−
1
=
i
{\displaystyle {\frac {1}{i}}={\frac {\sqrt {1}}{\sqrt {-1}}}={\sqrt {\frac {1}{-1}}}={\sqrt {-1}}=i}
（不正确）i的运算
虚数单位
i
{\displaystyle i}
的平方根在复平面的位置
许多实数的运算都可以推广到
i
{\displaystyle i}
，例如平方根、幂、对数和三角函数。以下运算除第一项外，均为与
i
{\displaystyle i}
有关的多值函数，在实际应用时必须指明函数的定义选择在黎曼面的哪一支。下面列出的仅仅是最常采用的黎曼面分支的计算结果。
i
{\displaystyle i}
的平方根为：
±
(
2
2
+
2
2
i
)
=
±
2
2
(
1
+
i
)
{\displaystyle \pm \left({\frac {\sqrt {2}}{2}}+{\frac {\sqrt {2}}{2}}i\right)=\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i)}
这是因为：
[
±
2
2
(
1
+
i
)
]
2
=
(
±
2
2
)
2
(
1
+
i
)
2
=
1
2
(
1
+
2
i
+
i
2
)
=
1
2
(
1
+
2
i
−
1
)
=
i
{\displaystyle {\begin{aligned}\left[\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i)\right]^{2}&=\left(\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)^{2}(1+i)^{2}\ \\&={\frac {1}{2}}(1+2i+i^{2})\\&={\frac {1}{2}}(1+2i-1)\\&=i\end{aligned}}}
使用算术平方根符号表示：
i
=
2
2
(
1
+
i
)
{\displaystyle {\sqrt {i}}={\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i)}
其解法为先假设两实数
x
{\displaystyle x}
及
y
{\displaystyle y}
，使得
(
x
+
i
y
)
2
=
i
{\displaystyle (x+iy)^{2}=i}
，求解
x
,
y
{\displaystyle x,y}
[1]一个数的
n
i
{\displaystyle ni}
次幂为：
x
n
i
=
cos
ln
x
n
+
i
sin
ln
x
n
{\displaystyle x^{ni}=\cos \ln x^{n}+i\sin \ln x^{n}}
一个数的
n
i
{\displaystyle ni}
次方根为：
x
n
i
=
cos
ln
x
n
−
i
sin
ln
x
n
{\displaystyle {\sqrt[{ni}]{x}}=\cos \ln {\sqrt[{n}]{x}}-i\sin \ln {\sqrt[{n}]{x}}}
利用欧拉公式
i
i
=
[
e
i
(
π
2
+
2
k
π
)
]
i
=
e
i
2
(
π
2
+
2
k
π
)
=
e
−
(
π
2
+
2
k
π
)
{\displaystyle i^{i}=\left[e^{i({\frac {\pi }{2}}+2k\pi )}\right]^{i}=e^{i^{2}({\frac {\pi }{2}}+2k\pi )}=e^{-({\frac {\pi }{2}}+2k\pi )}}
，
k
∈
Z
{\displaystyle k\in \mathbb {Z} }
代入不同的
k
{\displaystyle k}
值，可计算出无限多的解。当
k
=
0
{\displaystyle k=0}
最小的解是
e
−
π
2
≈
{\displaystyle e^{-{\frac {\pi }{2}}}\approx }
0.20787957635076...[2]以
i
{\displaystyle i}
为底的对数为：
log
i
x
=
2
ln
x
i
π
{\displaystyle \log _{i}x={{2\ln x} \over i\pi }}
i
{\displaystyle i}
的余弦是一个实数：
cos
i
=
cosh
1
=
e
+
1
e
2
=
e
2
+
1
2
e
≈
{\displaystyle \cos i=\cosh 1={{e+{\frac {1}{e}}} \over 2}={{e^{2}+1} \over 2e}\approx }
1.5430806348152...
i
{\displaystyle i}
的正弦是纯虚数：
sin
i
=
i
sinh
1
=
e
−
1
e
2
i
=
e
2
−
1
2
e
i
≈
{\displaystyle \sin i=i\sinh 1={{e-{\frac {1}{e}}} \over 2}i={{e^{2}-1} \over 2e}i\approx }
1.1752011936438...
i
{\displaystyle i}
在编程语言
大部分的编程语言都不提供虚数单位，且平方根函数(大多为sqrt()或Math.Sqrt())的引数不可以是负数，因此，必须自行建立类别后方可使用。
但Lisp的许多实现与方言，如Common Lisp，内建虚数和复数的支持。不少动态语言受其影响，也在语言本身或标准库中支持虚数和复数，如Python、Ruby。
一些传统编程语言，如C语言，也从C99开始支持虚数和复数。
在Matlab，虚数单位的表示方法为i或j，但i和j在for循环可以有其他用途。
在Mathematica，虚数单位的表示方法为I、𝕚或𝕛。
在Maple，必须启用虚数功能，并选择用i还是j表示虚数单位。
Go语言于第 1.0 版就内建虚数和复数的支持，变量类型为 complex64和complex128[3]。注解
^ University of Toronto Mathematics Network: What is the square root of i? （页面存档备份，存于互联网档案馆） URL retrieved March 26, 2007.
^ "The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers" by David Wells, Page 26.
^ Rob Pike. Constants. The Go Blog. 2014-08-25 [2022-05-27]. （原始内容存档于2022-06-28）.
参见
代数基本定理
虚数
复平面
单位根
i参考文献
Paul J. Nahin, An Imaginary Tale, The Story of √-1, Princeton University Press, 1998外部链接
欧拉对多项式的复数根的研究
i作为-1的平方根（英文视频）[永久失效链接]
i
7321
{\displaystyle i^{7321}}
的计算方法举例（英文视频）