高等数学第五章---定积分（§5.3定积分的计算方法）

§5.3 定积分的计算方法

定积分的计算是利用牛顿–莱布尼兹公式

∫abf(x)dx=F(x)∣ab=F(b)−F(a)

\int_a^b f(x) d x=\left.F(x)\right|_a^b=F(b)-F(a)

∫ab​f(x)dx=F(x)∣ab​=F(b)−F(a)

即先计算出一个原函数 F(x)F(x)F(x)，再计算函数差值 F(b)−F(a)F(b)-F(a)F(b)−F(a)。如何计算原函数 F(x)F(x)F(x) 呢？不定积分就是计算原函数 F(x)F(x)F(x) 的方法，根据不定积分的计算方法，下面我们给出具体的定积分的计算方法。

1. 直接法

定积分的直接法类似不定积分的直接法，即通过将被积函数适当变形，然后利用不定积分基本公式求出一个原函数 F(x)F(x)F(x)，再用牛顿–莱布尼兹公式求出定积分的值。

例1

计算下列定积分

(1)∫−11(x3−3x2)dx(2)∫−23(x−1)3dx(3)∫02π∣sin⁡x∣dx(4)∫0πcos⁡2x2dx(1) \int_{-1}^1\left(x^3-3 x^2\right) d x \quad (2) \int_{-2}^3(x-1)^3 d x \quad (3) \int_0^{2\pi}|\sin x| d x \quad (4) \int_0^\pi\cos^2\frac{x}{2} d x(1)∫−11​(x3−3x2)dx(2)∫−23​(x−1)3dx(3)∫02π​∣sinx∣dx(4)∫0π​cos22x​dx

解：

(1)

∫−11(x3−3x2)dx=(14x4−x3)∣−11=(14−1)−(14+1)=−2

\int_{-1}^1\left(x^3-3 x^2\right) d x=\left.\left(\frac{1}{4} x^4-x^3\right)\right|_{-1}^1=\left(\frac{1}{4}-1\right)-\left(\frac{1}{4}+1\right)=-2

∫−11​(x3−3x2)dx=(41​x4−x3)​−11​=(41​−1)−(41​+1)=−2

(2)

方法一：展开计算

∫−23(x−1)3dx=∫−23(x3−3x2+3x−1)dx=(x44−x3+32x2−x)∣−23=(814−27+272−3)−(164−(−8)+122−(−2))=(81−108+54−124)−(4+8+6+2)=154−20=−654

\int_{-2}^3(x-1)^3 d x=\int_{-2}^3\left(x^3-3 x^2+3 x-1\right) d x=\left.\left(\frac{x^4}{4}-x^3+\frac{3}{2} x^2-x\right)\right|_{-2}^3=\left(\frac{81}{4}-27+\frac{27}{2}-3\right) - \left(\frac{16}{4}-(-8)+\frac{12}{2}-(-2)\right) = \left(\frac{81-108+54-12}{4}\right) - (4+8+6+2) = \frac{15}{4}-20=-\frac{65}{4}

∫−23​(x−1)3dx=∫−23​(x3−3x2+3x−1)dx=(4x4​−x3+23​x2−x)​−23​=(481​−27+227​−3)−(416​−(−8)+212​−(−2))=(481−108+54−12​)−(4+8+6+2)=415​−20=−465​

方法二：凑微分（见下节，但也可用于此）

令 u=x−1u = x-1u=x−1, du=dxdu = dxdu=dx. 当 x=−2,u=−3x=-2, u=-3x=−2,u=−3. 当 x=3,u=2x=3, u=2x=3,u=2.

∫−32u3du=u44∣−32=244−(−3)44=164−814=−654

\int_{-3}^2 u^3 du = \left.\frac{u^4}{4}\right|_{-3}^2 = \frac{2^4}{4} - \frac{(-3)^4}{4} = \frac{16}{4} - \frac{81}{4} = \frac{-65}{4}

∫−32​u3du=4u4​​−32​=424​−4(−3)4​=416​−481​=4−65​

(3)

由于 ∣sin⁡x∣|\sin x|∣sinx∣ 在 [0,π][0, \pi][0,π] 上为 sin⁡x\sin xsinx，在 [π,2π][\pi, 2\pi][π,2π] 上为 −sin⁡x-\sin x−sinx：

∫02π∣sin⁡x∣dx=∫0πsin⁡xdx+∫π2π(−sin⁡x)dx=(−cos⁡x)∣0π+cos⁡x∣π2π=(−cos⁡π−(−cos⁡0))+(cos⁡2π−cos⁡π)=(−(−1)−(−1))+(1−(−1))=(1+1)+(1+1)=2+2=4

\int_0^{2\pi}|\sin x| d x=\int_0^\pi\sin x d x+\int_\pi^{2\pi}(-\sin x) d x = \left.(-\cos x)\right|_0^\pi+\left.\cos x\right|_\pi^{2\pi} = (-\cos\pi - (-\cos 0)) + (\cos 2\pi - \cos\pi) = (-(-1) - (-1)) + (1 - (-1)) = (1+1)+(1+1) = 2+2=4

∫02π​∣sinx∣dx=∫0π​sinxdx+∫π2π​(−sinx)dx=(−cosx)∣0π​+cosx∣π2π​=(−cosπ−(−cos0))+(cos2π−cosπ)=(−(−1)−(−1))+(1−(−1))=(1+1)+(1+1)=2+2=4

(4)

利用半角公式 cos⁡2x2=1+cos⁡x2\cos^2\frac{x}{2} = \frac{1+\cos x}{2}cos22x​=21+cosx​：

∫0πcos⁡2x2dx=∫0π1+cos⁡x2dx=12(x+sin⁡x)∣0π=12((π+sin⁡π)−(0+sin⁡0))=12(π+0−0)=π2

\int_0^\pi\cos^2\frac{x}{2} d x=\int_0^\pi\frac{1+\cos x}{2} d x=\left.\frac{1}{2}(x+\sin x)\right|_0^\pi=\frac{1}{2}((\pi+\sin\pi)-(0+\sin 0)) = \frac{1}{2}(\pi+0-0) = \frac{\pi}{2}

∫0π​cos22x​dx=∫0π​21+cosx​dx=21​(x+sinx)​0π​=21​((π+sinπ)−(0+sin0))=21​(π+0−0)=2π​

2. 凑微分法 (第一类换元法)

定积分的凑微分法类似不定积分的凑微分法。其核心思想是观察被积函数 f(x)f(x)f(x) 是否可以写成 g(ϕ(x))ϕ′(x)g(\phi(x))\phi'(x)g(ϕ(x))ϕ′(x) 的形式，从而通过代换 u=ϕ(x)u=\phi(x)u=ϕ(x) 来简化积分。

即 ∫abg(ϕ(x))ϕ′(x)dx=∫ϕ(a)ϕ(b)g(u)du\int_a^b g(\phi(x))\phi'(x)dx = \int_{\phi(a)}^{\phi(b)} g(u)du∫ab​g(ϕ(x))ϕ′(x)dx=∫ϕ(a)ϕ(b)​g(u)du。

在实际操作中，常将 dxdxdx 与一部分被积函数凑成某个新变量的微分 d(ϕ(x))d(\phi(x))d(ϕ(x))。

例2

计算下列定积分

(1)∫0axex2dx(2)∫0π2cos⁡3xdx(3)∫−11x(x2+1)2dx(4)∫−21dx11+5x(1) \int_0^{\sqrt{a}} x e^{x^2} d x \quad (2) \int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos 3 x d x \quad (3) \int_{-1}^1\frac{x}{\left(x^2+1\right)^2} d x \quad (4) \int_{-2}^1\frac{d x}{11+5 x}(1)∫0a​​xex2dx(2)∫02π​​cos3xdx(3)∫−11​(x2+1)2x​dx(4)∫−21​11+5xdx​

解：

(1)

注意到 (x2)′=2x(x^2)' = 2x(x2)′=2x，所以 xdx=12d(x2)x dx = \frac{1}{2} d(x^2)xdx=21​d(x2)。

令 u=x2u=x^2u=x2。当 x=0,u=0x=0, u=0x=0,u=0。当 x=a,u=ax=\sqrt{a}, u=ax=a​,u=a.

∫0axex2dx=∫0aex2(xdx)=12∫0aeudu=12eu∣0a=12(ea−e0)=12(ea−1)

\int_0^{\sqrt{a}} x e^{x^2} d x = \int_0^{\sqrt{a}} e^{x^2} (x dx) = \frac{1}{2}\int_0^a e^u du = \left.\frac{1}{2} e^u\right|_0^a = \frac{1}{2}\left(e^a-e^0\right) = \frac{1}{2}\left(e^a-1\right)

∫0a​​xex2dx=∫0a​​ex2(xdx)=21​∫0a​eudu=21​eu​0a​=21​(ea−e0)=21​(ea−1)

原文写法：

∫0axex2dx=∫0a12ex2d(x2)=12ex2∣0a=12(ea−1)

\int_0^{\sqrt{a}} x e^{x^2} d x=\int_0^{\sqrt{a}}\frac{1}{2} e^{x^2} d\left(x^2\right)=\left.\frac{1}{2} e^{x^2}\right|_0^{\sqrt{a}}=\frac{1}{2}\left(e^a-1\right)

∫0a​​xex2dx=∫0a​​21​ex2d(x2)=21​ex2​0a​​=21​(ea−1)

(2)

注意到 (3x)′=3(3x)' = 3(3x)′=3，所以 dx=13d(3x)dx = \frac{1}{3} d(3x)dx=31​d(3x)。

令 u=3xu=3xu=3x。当 x=0,u=0x=0, u=0x=0,u=0。当 x=π/2,u=3π/2x=\pi/2, u=3\pi/2x=π/2,u=3π/2.

∫0π2cos⁡3xdx=∫0π2cos⁡(3x)13d(3x)=13∫03π2cos⁡udu=13sin⁡u∣03π2=13(sin⁡3π2−sin⁡0)=13(−1−0)=−13

\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos 3 x d x = \int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos(3x) \frac{1}{3}d(3x) = \frac{1}{3}\int_0^{\frac{3\pi}{2}}\cos u du = \left.\frac{1}{3}\sin u\right|_0^{\frac{3\pi}{2}} = \frac{1}{3}\left(\sin\frac{3\pi}{2}-\sin 0\right) = \frac{1}{3}(-1-0) = -\frac{1}{3}

∫02π​​cos3xdx=∫02π​​cos(3x)31​d(3x)=31​∫023π​​cosudu=31​sinu​023π​​=31​(sin23π​−sin0)=31​(−1−0)=−31​

原文写法：

∫0π2cos⁡3xdx=13∫0π2cos⁡3xd(3x)=13sin⁡3x∣0π2=13(sin⁡(3π/2)−sin⁡0)=13(−1−0)=−13

\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos 3 x d x=\frac{1}{3}\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos 3 x d(3 x)=\left.\frac{1}{3}\sin 3 x\right|_0^{\frac{\pi}{2}}=\frac{1}{3}(\sin(3\pi/2) - \sin 0) = \frac{1}{3}(-1-0)=-\frac{1}{3}

∫02π​​cos3xdx=31​∫02π​​cos3xd(3x)=31​sin3x​02π​​=31​(sin(3π/2)−sin0)=31​(−1−0)=−31​

(注：原解答中 13(0−1)\frac{1}{3}(0-1)31​(0−1) 可能是中间笔误，但结果正确。已修正为标准求值过程。)

(3)

注意到 (x2+1)′=2x(x^2+1)' = 2x(x2+1)′=2x，所以 xdx=12d(x2+1)x dx = \frac{1}{2} d(x^2+1)xdx=21​d(x2+1)。

令 u=x2+1u=x^2+1u=x2+1。当 x=−1,u=2x=-1, u=2x=−1,u=2。当 x=1,u=2x=1, u=2x=1,u=2.

∫−11x(x2+1)2dx=∫−111(x2+1)2(xdx)=12∫x=−1x=1(x2+1)−2d(x2+1)=12(x2+1)−1−1∣−11=−12(x2+1)∣−11=(−12(12+1))−(−12((−1)2+1))=−14−(−14)=0

\begin{align*}

\int_{-1}^1\frac{x}{\left(x^2+1\right)^2} d x &= \int_{-1}^1\frac{1}{\left(x^2+1\right)^2} (x dx) \\

&=\frac{1}{2}\int_{x=-1}^{x=1}\left(x^2+1\right)^{-2} d\left(x^2+1\right) \\

&= \left.\frac{1}{2} \frac{(x^2+1)^{-1}}{-1} \right|_{-1}^1 \\

&= \left.-\frac{1}{2(x^2+1)}\right|_{-1}^1 \\

&= \left(-\frac{1}{2(1^2+1)}\right) - \left(-\frac{1}{2((-1)^2+1)}\right) \\

&= -\frac{1}{4} - \left(-\frac{1}{4}\right)=0

\end{align*}

∫−11​(x2+1)2x​dx​=∫−11​(x2+1)21​(xdx)=21​∫x=−1x=1​(x2+1)−2d(x2+1)=21​−1(x2+1)−1​​−11​=−2(x2+1)1​​−11​=(−2(12+1)1​)−(−2((−1)2+1)1​)=−41​−(−41​)=0​

(此题也可由奇偶性判断，被积函数为奇函数，对称区间积分为0)

(4)

注意到 (11+5x)′=5(11+5x)' = 5(11+5x)′=5，所以 dx=15d(11+5x)dx = \frac{1}{5} d(11+5x)dx=51​d(11+5x)。

令 u=11+5xu=11+5xu=11+5x。当 x=−2,u=11+5(−2)=1x=-2, u=11+5(-2)=1x=−2,u=11+5(−2)=1。当 x=1,u=11+5(1)=16x=1, u=11+5(1)=16x=1,u=11+5(1)=16.

∫−21dx11+5x=15∫x=−2x=1d(11+5x)11+5x=15ln⁡∣11+5x∣∣−21=15(ln⁡∣16∣−ln⁡∣1∣)=15ln⁡16=15ln⁡24=4ln⁡25

\int_{-2}^1\frac{d x}{11+5 x}=\frac{1}{5}\int_{x=-2}^{x=1}\frac{d(11+5 x)}{11+5 x}=\left.\frac{1}{5}\ln|11+5 x|\right|_{-2}^1=\frac{1}{5}(\ln|16|-\ln|1|) = \frac{1}{5}\ln 16 = \frac{1}{5}\ln 2^4 = \frac{4\ln 2}{5}

∫−21​11+5xdx​=51​∫x=−2x=1​11+5xd(11+5x)​=51​ln∣11+5x∣​−21​=51​(ln∣16∣−ln∣1∣)=51​ln16=51​ln24=54ln2​

3. 变量代换法 (第二类换元法)

定理

设 f(x)f(x)f(x) 在 [a,b][a, b][a,b] 上连续，x=φ(t)x=\varphi(t)x=φ(t) 满足条件：

φ(α)=a,φ(β)=b\varphi(\alpha)=a, \varphi(\beta)=bφ(α)=a,φ(β)=b，φ(t)\varphi(t)φ(t) 在 [α,β][\alpha,\beta][α,β]（或 [β,α][\beta,\alpha][β,α]）上具有连续导数且其值域包含 [a,b][a, b][a,b]，

则

∫abf(x)dx=∫αβf(φ(t))φ′(t)dt

\int_a^b f(x) d x=\int_\alpha^\beta f(\varphi(t))\varphi^{\prime}(t) d t

∫ab​f(x)dx=∫αβ​f(φ(t))φ′(t)dt

证明：

设 f(x)f(x)f(x) 的一个原函数为 F(x)F(x)F(x)，则 F′(x)=f(x)F'(x) = f(x)F′(x)=f(x)。

根据复合函数求导法则，[F(φ(t))]′=F′(φ(t))φ′(t)=f(φ(t))φ′(t)[F(\varphi(t))]' = F'(\varphi(t))\varphi'(t) = f(\varphi(t))\varphi'(t)[F(φ(t))]′=F′(φ(t))φ′(t)=f(φ(t))φ′(t)。

因此，F(φ(t))F(\varphi(t))F(φ(t)) 是 f(φ(t))φ′(t)f(\varphi(t))\varphi'(t)f(φ(t))φ′(t) 的一个原函数。

由牛顿-莱布尼兹公式有：

∫abf(x)dx=F(x)∣ab=F(b)−F(a)

\int_a^b f(x) d x=\left.F(x)\right|_a^b=F(b)-F(a)

∫ab​f(x)dx=F(x)∣ab​=F(b)−F(a)

∫αβf(φ(t))φ′(t)dt=F(φ(t))∣αβ=F(φ(β))−F(φ(α))=F(b)−F(a)

\int_\alpha^\beta f(\varphi(t))\varphi^{\prime}(t) d t=\left.F(\varphi(t))\right|_\alpha^\beta=F(\varphi(\beta))-F(\varphi(\alpha))=F(b)-F(a)

∫αβ​f(φ(t))φ′(t)dt=F(φ(t))∣αβ​=F(φ(β))−F(φ(α))=F(b)−F(a)

所以，

∫abf(x)dx=∫αβf(φ(t))φ′(t)dt

\int_a^b f(x) d x=\int_\alpha^\beta f(\varphi(t))\varphi^{\prime}(t) d t

∫ab​f(x)dx=∫αβ​f(φ(t))φ′(t)dt

注：

该定理给出定积分的换元积分法，即

∫abf(x)dx=令 x=φ(t)∫αβf(φ(t))φ′(t)dt

\int_a^b f(x) d x\stackrel{令\,x=\varphi(t)}{=}\int_\alpha^\beta f(\varphi(t))\varphi^{\prime}(t) d t

∫ab​f(x)dx=令x=φ(t)∫αβ​f(φ(t))φ′(t)dt

（实际应用中，我们通常是选择合适的代换 x=φ(t)x=\varphi(t)x=φ(t) 或 t=ψ(x)t=\psi(x)t=ψ(x) 来简化积分。）换元必换限：新的积分限 α,β\alpha, \betaα,β 分别由旧的积分限 a,ba,ba,b 通过 a=φ(α)a=\varphi(\alpha)a=φ(α) 和 b=φ(β)b=\varphi(\beta)b=φ(β) (或 t=ψ(x)t=\psi(x)t=ψ(x) 时，α=ψ(a),β=ψ(b)\alpha=\psi(a), \beta=\psi(b)α=ψ(a),β=ψ(b)) 确定。与不定积分换元不同，定积分换元后，算出结果即可，无需将新变量换回原变量。

例3

计算下列定积分

(1)∫0811+x3dx(2)∫021x+1+(x+1)3dx(3)∫0aa2−x2dx(a>0)(1) \int_0^8\frac{1}{1+\sqrt[3]{x}} d x \quad (2) \int_0^2\frac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{(x+1)^3}} d x \quad (3) \int_0^a\sqrt{a^2-x^2} d x \quad (a>0)(1)∫08​1+3x​1​dx(2)∫02​x+1​+(x+1)3​1​dx(3)∫0a​a2−x2​dx(a>0)

解：

(1) 令 x3=t\sqrt[3]{x}=t3x​=t，则 x=t3,dx=3t2dtx=t^3, d x=3 t^2 d tx=t3,dx=3t2dt。

当 x=0x=0x=0 时 t=0t=0t=0；当 x=8x=8x=8 时 t=83=2t=\sqrt[3]{8}=2t=38​=2。

∫0811+x3dx=∫0211+t⋅3t2dt=3∫02t21+tdt=3∫02t2−1+11+tdt=3∫02((t−1)(t+1)1+t+11+t)dt=3∫02(t−1+11+t)dt=3(t22−t+ln⁡∣1+t∣)∣02=3[(222−2+ln⁡∣1+2∣)−(022−0+ln⁡∣1+0∣)]=3[(2−2+ln⁡3)−(0−0+ln⁡1)]=3(ln⁡3−0)=3ln⁡3

\begin{align*}

\int_0^8\frac{1}{1+\sqrt[3]{x}} d x &= \int_0^2\frac{1}{1+t} \cdot 3 t^2 d t \\

&= 3\int_0^2\frac{t^2}{1+t} d t \\

&= 3\int_0^2\frac{t^2-1+1}{1+t} d t \\

&= 3\int_0^2\left(\frac{(t-1)(t+1)}{1+t}+\frac{1}{1+t}\right) d t \\

&= 3\int_0^2\left(t-1+\frac{1}{1+t}\right) d t \\

&= 3\left.\left(\frac{t^2}{2}-t+\ln|1+t|\right)\right|_0^2 \\

&= 3\left[\left(\frac{2^2}{2}-2+\ln|1+2|\right) - \left(\frac{0^2}{2}-0+\ln|1+0|\right)\right] \\

&= 3\left[(2-2+\ln 3) - (0-0+\ln 1)\right] \\

&= 3(\ln 3 - 0) = 3\ln 3

\end{align*}

∫08​1+3x​1​dx​=∫02​1+t1​⋅3t2dt=3∫02​1+tt2​dt=3∫02​1+tt2−1+1​dt=3∫02​(1+t(t−1)(t+1)​+1+t1​)dt=3∫02​(t−1+1+t1​)dt=3(2t2​−t+ln∣1+t∣)​02​=3[(222​−2+ln∣1+2∣)−(202​−0+ln∣1+0∣)]=3[(2−2+ln3)−(0−0+ln1)]=3(ln3−0)=3ln3​

(2) 令 x+1=t\sqrt{x+1}=tx+1​=t，则 x+1=t2⇒x=t2−1,dx=2tdtx+1=t^2 \Rightarrow x=t^2-1, d x=2 t d tx+1=t2⇒x=t2−1,dx=2tdt。

当 x=0x=0x=0 时 t=0+1=1t=\sqrt{0+1}=1t=0+1​=1；当 x=2x=2x=2 时 t=2+1=3t=\sqrt{2+1}=\sqrt{3}t=2+1​=3​。

(x+1)3=(x+1)3=t3\sqrt{(x+1)^3} = (\sqrt{x+1})^3 = t^3(x+1)3​=(x+1​)3=t3。

∫021x+1+(x+1)3dx=∫131t+t3⋅2tdt=2∫13tt(1+t2)dt=2∫1311+t2dt=2arctan⁡t∣13=2(arctan⁡3−arctan⁡1)=2(π3−π4)=2(4π−3π12)=2(π12)=π6

\begin{align*}

\int_0^2\frac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{(x+1)^3}} d x &= \int_1^{\sqrt{3}}\frac{1}{t+t^3}\cdot 2 t d t \\

&= 2\int_1^{\sqrt{3}}\frac{t}{t(1+t^2)} d t \\

&= 2\int_1^{\sqrt{3}}\frac{1}{1+t^2} d t \\

&= \left.2\arctan t\right|_1^{\sqrt{3}} \\

&= 2(\arctan\sqrt{3}-\arctan 1) \\

&= 2\left(\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{4}\right) = 2\left(\frac{4\pi-3\pi}{12}\right) = 2\left(\frac{\pi}{12}\right) = \frac{\pi}{6}

\end{align*}

∫02​x+1​+(x+1)3​1​dx​=∫13​​t+t31​⋅2tdt=2∫13​​t(1+t2)t​dt=2∫13​​1+t21​dt=2arctant∣13​​=2(arctan3​−arctan1)=2(3π​−4π​)=2(124π−3π​)=2(12π​)=6π​​

(3) 令 x=asin⁡t(a>0)x=a\sin t \quad (a>0)x=asint(a>0)。则 dx=acos⁡tdtd x=a\cos t d tdx=acostdt。

当 x=0x=0x=0 时 asin⁡t=0⇒sin⁡t=0⇒t=0a\sin t = 0 \Rightarrow \sin t = 0 \Rightarrow t=0asint=0⇒sint=0⇒t=0 (选择主值区间 [−π/2,π/2][-\pi/2, \pi/2][−π/2,π/2])。

当 x=ax=ax=a 时 asin⁡t=a⇒sin⁡t=1⇒t=π2a\sin t = a \Rightarrow \sin t = 1 \Rightarrow t=\frac{\pi}{2}asint=a⇒sint=1⇒t=2π​。

a2−x2=a2−a2sin⁡2t=a2(1−sin⁡2t)=a2cos⁡2t=∣acos⁡t∣\sqrt{a^2-x^2} = \sqrt{a^2-a^2\sin^2 t} = \sqrt{a^2(1-\sin^2 t)} = \sqrt{a^2\cos^2 t} = |a\cos t|a2−x2​=a2−a2sin2t​=a2(1−sin2t)​=a2cos2t​=∣acost∣。

由于 t∈[0,π/2]t \in [0, \pi/2]t∈[0,π/2]，a>0a>0a>0，cos⁡t≥0\cos t \ge 0cost≥0，所以 ∣acos⁡t∣=acos⁡t|a\cos t| = a\cos t∣acost∣=acost。

∫0aa2−x2dx=∫0π2acos⁡t⋅acos⁡tdt=a2∫0π2cos⁡2tdt=a2∫0π21+cos⁡2t2dt=a22(t+12sin⁡2t)∣0π2=a22[(π2+12sin⁡π)−(0+12sin⁡0)]=a22[(π2+0)−(0+0)]=πa24

\begin{align*}

\int_0^a\sqrt{a^2-x^2} d x &= \int_0^{\frac{\pi}{2}} a\cos t \cdot a\cos t d t \\

&= a^2\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^2 t d t \\

&= a^2\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{1+\cos 2 t}{2} d t \\

&= \frac{a^2}{2}\left.\left(t+\frac{1}{2}\sin 2 t\right)\right|_0^{\frac{\pi}{2}} \\

&= \frac{a^2}{2}\left[\left(\frac{\pi}{2}+\frac{1}{2}\sin\pi\right) - \left(0+\frac{1}{2}\sin 0\right)\right] \\

&= \frac{a^2}{2}\left[\left(\frac{\pi}{2}+0\right) - (0+0)\right] = \frac{\pi a^2}{4}

\end{align*}

∫0a​a2−x2​dx​=∫02π​​acost⋅acostdt=a2∫02π​​cos2tdt=a2∫02π​​21+cos2t​dt=2a2​(t+21​sin2t)​02π​​=2a2​[(2π​+21​sinπ)−(0+21​sin0)]=2a2​[(2π​+0)−(0+0)]=4πa2​​

(注：该积分的几何意义是半径为 aaa 的圆在第一象限的面积。)

关于换元法的注记： 通过上述例子我们发现，定积分的换元积分法和不定积分的换元积分法一样，该做代数代换就做代数代换，该做三角代换就做三角代换。不同的是：不定积分最后要把 ttt 换回 xxx，而定积分不用换回，因为积分的上下限已经换成 ttt 的范围了。

积分等式证明问题及奇偶性应用

所谓积分等式即含有定积分的等式。要证明积分等式，一般是利用变量代换法，有时再结合定积分的区间可加性来证明。特别地，利用函数的奇偶性可以简化在对称区间上的定积分计算。

例1

设 f(x)f(x)f(x) 在 [−a,a][-a, a][−a,a] 上连续，证明：

若 f(x)f(x)f(x) 为偶函数 (即 f(−x)=f(x)f(-x)=f(x)f(−x)=f(x))，则 ∫−aaf(x)dx=2∫0af(x)dx\int_{-a}^a f(x) d x=2\int_0^a f(x) d x∫−aa​f(x)dx=2∫0a​f(x)dx；若 f(x)f(x)f(x) 为奇函数 (即 f(−x)=−f(x)f(-x)=-f(x)f(−x)=−f(x))，则 ∫−aaf(x)dx=0\int_{-a}^a f(x) d x=0∫−aa​f(x)dx=0。

分析： 观察积分等式，积分区间发生变化。先考虑定积分区间可加性：

∫−aaf(x)dx=∫−a0f(x)dx+∫0af(x)dx

\int_{-a}^a f(x) d x=\int_{-a}^0 f(x) d x+\int_0^a f(x) d x

∫−aa​f(x)dx=∫−a0​f(x)dx+∫0a​f(x)dx

因此：

要证明 ∫−aaf(x)dx=2∫0af(x)dx\int_{-a}^a f(x) d x=2\int_0^a f(x) d x∫−aa​f(x)dx=2∫0a​f(x)dx，即需证明 ∫−a0f(x)dx=∫0af(x)dx\int_{-a}^0 f(x) d x=\int_0^a f(x) d x∫−a0​f(x)dx=∫0a​f(x)dx。要证明 ∫−aaf(x)dx=0\int_{-a}^a f(x) d x=0∫−aa​f(x)dx=0，即需证明 ∫−a0f(x)dx=−∫0af(x)dx\int_{-a}^0 f(x) d x=-\int_0^a f(x) d x∫−a0​f(x)dx=−∫0a​f(x)dx。

证明：

对于积分 ∫−a0f(x)dx\int_{-a}^0 f(x) d x∫−a0​f(x)dx，令 x=−tx=-tx=−t。则 dx=−dtd x=-d tdx=−dt。

当 x=−ax=-ax=−a 时，t=at=at=a；当 x=0x=0x=0 时，t=0t=0t=0。

所以，

∫−a0f(x)dx=∫a0f(−t)(−dt)=−∫a0f(−t)dt=∫0af(−t)dt

\int_{-a}^0 f(x) d x = \int_a^0 f(-t) (-dt) = -\int_a^0 f(-t) dt = \int_0^a f(-t) dt

∫−a0​f(x)dx=∫a0​f(−t)(−dt)=−∫a0​f(−t)dt=∫0a​f(−t)dt

由于积分变量的符号不影响积分值，∫0af(−t)dt=∫0af(−x)dx\int_0^a f(-t) dt = \int_0^a f(-x) dx∫0a​f(−t)dt=∫0a​f(−x)dx。

因此， ∫−a0f(x)dx=∫0af(−x)dx\int_{-a}^0 f(x) d x = \int_0^a f(-x) dx∫−a0​f(x)dx=∫0a​f(−x)dx。

若 f(x)f(x)f(x) 为偶函数，则 f(−x)=f(x)f(-x)=f(x)f(−x)=f(x)。

∫−a0f(x)dx=∫0af(−x)dx=∫0af(x)dx

\int_{-a}^0 f(x) d x = \int_0^a f(-x) dx = \int_0^a f(x) dx

∫−a0​f(x)dx=∫0a​f(−x)dx=∫0a​f(x)dx

所以，

∫−aaf(x)dx=∫−a0f(x)dx+∫0af(x)dx=∫0af(x)dx+∫0af(x)dx=2∫0af(x)dx

\int_{-a}^a f(x) d x=\int_{-a}^0 f(x) d x+\int_0^a f(x) d x = \int_0^a f(x) dx + \int_0^a f(x) dx = 2\int_0^a f(x) d x

∫−aa​f(x)dx=∫−a0​f(x)dx+∫0a​f(x)dx=∫0a​f(x)dx+∫0a​f(x)dx=2∫0a​f(x)dx

若 f(x)f(x)f(x) 为奇函数，则 f(−x)=−f(x)f(-x)=-f(x)f(−x)=−f(x)。

∫−a0f(x)dx=∫0af(−x)dx=∫0a(−f(x))dx=−∫0af(x)dx

\int_{-a}^0 f(x) d x = \int_0^a f(-x) dx = \int_0^a (-f(x)) dx = -\int_0^a f(x) dx

∫−a0​f(x)dx=∫0a​f(−x)dx=∫0a​(−f(x))dx=−∫0a​f(x)dx

所以，

∫−aaf(x)dx=∫−a0f(x)dx+∫0af(x)dx=−∫0af(x)dx+∫0af(x)dx=0

\int_{-a}^a f(x) d x=\int_{-a}^0 f(x) d x+\int_0^a f(x) d x = -\int_0^a f(x) dx + \int_0^a f(x) dx = 0

∫−aa​f(x)dx=∫−a0​f(x)dx+∫0a​f(x)dx=−∫0a​f(x)dx+∫0a​f(x)dx=0

注： 该性质在计算定积分时可以直接利用，但要特别注意积分区间必须关于原点对称，即形式为 [−a,a][-a, a][−a,a]。

例2

计算

∫−1111−x2(11+ex−12)dx

\int_{-1}^1\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\left(\frac{1}{1+e^x}-\frac{1}{2}\right) d x

∫−11​1−x2​1​(1+ex1​−21​)dx

解：

该题的被积函数相对比较复杂，正常积分难度较大，而积分区间 [−1,1][-1, 1][−1,1] 正好关于原点对称，因此可考虑被积函数的奇偶性。

令 h(x)=11−x2(11+ex−12)h(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\left(\frac{1}{1+e^x}-\frac{1}{2}\right)h(x)=1−x2​1​(1+ex1​−21​)。

其中 f(x)=11−x2f(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}f(x)=1−x2​1​ 是偶函数，因为 f(−x)=11−(−x)2=11−x2=f(x)f(-x) = \frac{1}{\sqrt{1-(-x)^2}} = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} = f(x)f(−x)=1−(−x)2​1​=1−x2​1​=f(x)。

令 g(x)=(11+ex−12)g(x)=\left(\frac{1}{1+e^x}-\frac{1}{2}\right)g(x)=(1+ex1​−21​)。则

g(−x)=(11+e−x−12)=(11+1ex−12)=(exex+1−12)=2ex−(ex+1)2(ex+1)=ex−12(ex+1)=−1−ex2(1+ex)

\begin{align*}

g(-x) &= \left(\frac{1}{1+e^{-x}}-\frac{1}{2}\right) \\

&= \left(\frac{1}{1+\frac{1}{e^x}}-\frac{1}{2}\right) \\

&= \left(\frac{e^x}{e^x+1}-\frac{1}{2}\right) \\

&= \frac{2e^x-(e^x+1)}{2(e^x+1)} \\

&= \frac{e^x-1}{2(e^x+1)} \\

&= -\frac{1-e^x}{2(1+e^x)}

\end{align*}

g(−x)​=(1+e−x1​−21​)=(1+ex1​1​−21​)=(ex+1ex​−21​)=2(ex+1)2ex−(ex+1)​=2(ex+1)ex−1​=−2(1+ex)1−ex​​

而

−g(x)=−(11+ex−12)=12−11+ex=1+ex−22(1+ex)=ex−12(1+ex)

-g(x) = -\left(\frac{1}{1+e^x}-\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2} - \frac{1}{1+e^x} = \frac{1+e^x-2}{2(1+e^x)} = \frac{e^x-1}{2(1+e^x)}

−g(x)=−(1+ex1​−21​)=21​−1+ex1​=2(1+ex)1+ex−2​=2(1+ex)ex−1​

所以 g(−x)=−g(x)g(-x) = -g(x)g(−x)=−g(x)，即 g(x)g(x)g(x)为奇函数。

被积函数 h(x)=f(x)g(x)h(x) = f(x)g(x)h(x)=f(x)g(x) 是一个偶函数与一个奇函数的乘积，因此 h(x)h(x)h(x) 是奇函数。

根据奇函数在对称区间上的积分性质，得

∫−1111−x2(11+ex−12)dx=0

\int_{-1}^1\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\left(\frac{1}{1+e^x}-\frac{1}{2}\right) d x=0

∫−11​1−x2​1​(1+ex1​−21​)dx=0

4. 分部积分法

不定积分的分部积分法回顾

不定积分的分部积分公式为：

∫u(x)v′(x)dx=u(x)v(x)−∫u′(x)v(x)dx

\int u(x) v^{\prime}(x) d x = u(x) v(x) - \int u^{\prime}(x) v(x) d x

∫u(x)v′(x)dx=u(x)v(x)−∫u′(x)v(x)dx

或者写作 ∫udv=uv−∫vdu\int u dv = uv - \int v du∫udv=uv−∫vdu。

定积分的分部积分法

由不定积分的分部积分法可以得到定积分的分部积分法：

∫abu(x)v′(x)dx=u(x)v(x)∣ab−∫abu′(x)v(x)dx

\int_a^b u(x) v^{\prime}(x) d x = \left.u(x) v(x)\right|_a^b - \int_a^b u^{\prime}(x) v(x) d x

∫ab​u(x)v′(x)dx=u(x)v(x)∣ab​−∫ab​u′(x)v(x)dx

即

∫abudv=uv∣ab−∫abvdu

\int_a^b u dv = \left.uv\right|_a^b - \int_a^b v du

∫ab​udv=uv∣ab​−∫ab​vdu

注： 分部积分法主要用于计算两类不同函数（如幂函数与三角函数/指数函数，对数函数与幂函数等）乘积的积分。u(x),v(x)u(x), v(x)u(x),v(x) 的选取规则同不定积分，一般遵循“反对幂三指”的优先顺序选择被积函数的一部分为 uuu（反三角函数、对数函数、幂函数、三角函数、指数函数）。

例题

例1

计算

∫15ln⁡xdx

\int_1^5\ln x d x

∫15​lnxdx

解：

令 u=ln⁡xu=\ln xu=lnx, dv=dxdv = dxdv=dx。则 du=1xdxdu = \frac{1}{x}dxdu=x1​dx, v=xv=xv=x。

∫15ln⁡xdx=[xln⁡x]15−∫15x⋅1xdx=(5ln⁡5−1ln⁡1)−∫151dx=5ln⁡5−0−[x]15=5ln⁡5−(5−1)=5ln⁡5−4

\begin{align*}

\int_1^5\ln x d x &= \left[x\ln x\right]_1^{5} - \int_1^5 x \cdot \frac{1}{x} d x \\

&= (5\ln 5 - 1\ln 1) - \int_1^5 1 d x \\

&= 5\ln 5 - 0 - \left[x\right]_1^5 \\

&= 5\ln 5 - (5-1) \\

&= 5\ln 5 - 4

\end{align*}

∫15​lnxdx​=[xlnx]15​−∫15​x⋅x1​dx=(5ln5−1ln1)−∫15​1dx=5ln5−0−[x]15​=5ln5−(5−1)=5ln5−4​

原文写法：

∫15ln⁡xdx=∫15ln⁡x⋅(x)′dx=xln⁡x∣15−∫15x⋅(ln⁡x)′dx=5ln⁡5−∫15x⋅1xdx=5ln⁡5−∫151dx=5ln⁡5−4

\int_1^5\ln x d x=\int_1^5\ln x\cdot (x)^{\prime} d x = \left.x\ln x\right|_1^{5}-\int_1^5 x\cdot (\ln x)^{\prime} d x = 5\ln 5-\int_1^5 x\cdot\frac{1}{x} d x = 5\ln 5-\int_1^5 1 d x = 5\ln 5-4

∫15​lnxdx=∫15​lnx⋅(x)′dx=xlnx∣15​−∫15​x⋅(lnx)′dx=5ln5−∫15​x⋅x1​dx=5ln5−∫15​1dx=5ln5−4

例2

计算

∫01xexdx

\int_0^1 x e^x d x

∫01​xexdx

解：

令 u=xu=xu=x, dv=exdxdv = e^x dxdv=exdx。则 du=dxdu = dxdu=dx, v=exv=e^xv=ex。

∫01xexdx=[xex]01−∫01exdx=(1⋅e1−0⋅e0)−[ex]01=e−(e1−e0)=e−(e−1)=1

\begin{align*}

\int_0^1 x e^x d x &= \left[x e^x\right]_0^1 - \int_0^1 e^x d x \\

&= (1\cdot e^1 - 0\cdot e^0) - \left[e^x\right]_0^1 \\

&= e - (e^1 - e^0) \\

&= e - (e - 1) \\

&= 1

\end{align*}

∫01​xexdx​=[xex]01​−∫01​exdx=(1⋅e1−0⋅e0)−[ex]01​=e−(e1−e0)=e−(e−1)=1​

例3

计算

∫0πx2cos⁡xdx

\int_0^\pi x^2\cos x d x

∫0π​x2cosxdx

解：

第一次分部积分：令 u=x2u=x^2u=x2, dv=cos⁡xdxdv = \cos x dxdv=cosxdx。则 du=2xdxdu = 2x dxdu=2xdx, v=sin⁡xv=\sin xv=sinx。

∫0πx2cos⁡xdx=[x2sin⁡x]0π−∫0π2xsin⁡xdx=(π2sin⁡π−02sin⁡0)−2∫0πxsin⁡xdx=0−2∫0πxsin⁡xdx=−2∫0πxsin⁡xdx

\begin{align*}

\int_0^\pi x^2\cos x d x &= \left[x^2\sin x\right]_0^\pi - \int_0^\pi 2x\sin x d x \\

&= (\pi^2\sin\pi - 0^2\sin 0) - 2\int_0^\pi x\sin x d x \\

&= 0 - 2\int_0^\pi x\sin x d x \\

&= -2\int_0^\pi x\sin x d x

\end{align*}

∫0π​x2cosxdx​=[x2sinx]0π​−∫0π​2xsinxdx=(π2sinπ−02sin0)−2∫0π​xsinxdx=0−2∫0π​xsinxdx=−2∫0π​xsinxdx​

第二次分部积分 (计算 ∫0πxsin⁡xdx\int_0^\pi x\sin x d x∫0π​xsinxdx)：令 u=xu=xu=x, dv=sin⁡xdxdv = \sin x dxdv=sinxdx。则 du=dxdu = dxdu=dx, v=−cos⁡xv=-\cos xv=−cosx。

∫0πxsin⁡xdx=[x(−cos⁡x)]0π−∫0π(−cos⁡x)dx=[−xcos⁡x]0π+∫0πcos⁡xdx=(−πcos⁡π−(−0cos⁡0))+[sin⁡x]0π=(−π(−1)−0)+(sin⁡π−sin⁡0)=π+(0−0)=π

\begin{align*}

\int_0^\pi x\sin x d x &= \left[x(-\cos x)\right]_0^\pi - \int_0^\pi (-\cos x) dx \\

&= \left[-x\cos x\right]_0^\pi + \int_0^\pi \cos x d x \\

&= (-\pi\cos\pi - (-0\cos 0)) + \left[\sin x\right]_0^\pi \\

&= (-\pi(-1) - 0) + (\sin\pi - \sin 0) \\

&= \pi + (0-0) = \pi

\end{align*}

∫0π​xsinxdx​=[x(−cosx)]0π​−∫0π​(−cosx)dx=[−xcosx]0π​+∫0π​cosxdx=(−πcosπ−(−0cos0))+[sinx]0π​=(−π(−1)−0)+(sinπ−sin0)=π+(0−0)=π​

所以，

∫0πx2cos⁡xdx=−2(π)=−2π

\int_0^\pi x^2\cos x d x = -2(\pi) = -2\pi

∫0π​x2cosxdx=−2(π)=−2π

(注：原文中提到“上一步计算中最后结果有误，正确结果应该是−2π+2sin⁡x∣0π=−2π-2\pi + 2\sin x\big|_0^\pi=-2\pi−2π+2sinx​0π​=−2π”。这里已按正确方法推导并得到 −2π-2\pi−2π。)

例4

设 f(x)=∫1x2sin⁡ttdtf(x)=\int_1^{x^2}\frac{\sin t}{t} d tf(x)=∫1x2​tsint​dt，求 ∫01xf(x)dx\int_0^1 x f(x) d x∫01​xf(x)dx。

解：

该题不可能先将 f(x)f(x)f(x) 算出来（因为 ∫sin⁡ttdt\int\frac{\sin t}{t} d t∫tsint​dt 不是初等函数），再代入定积分中计算。

凡是出现变限积分函数，通常要利用其导数，而定积分中要出现导数常利用分部积分公式。

首先求 f′(x)f'(x)f′(x)。根据变上限积分求导法则：

f′(x)=(∫1x2sin⁡ttdt)′=sin⁡(x2)x2⋅(x2)′=sin⁡x2x2⋅2x=2sin⁡x2x

f^{\prime}(x)=\left(\int_1^{x^2}\frac{\sin t}{t} d t\right)^{\prime}=\frac{\sin (x^2)}{x^2}\cdot (x^2)^{\prime} = \frac{\sin x^2}{x^2}\cdot 2 x=\frac{2\sin x^2}{x}

f′(x)=(∫1x2​tsint​dt)′=x2sin(x2)​⋅(x2)′=x2sinx2​⋅2x=x2sinx2​

现在计算 ∫01xf(x)dx\int_0^1 x f(x) d x∫01​xf(x)dx。

令 u=f(x)u=f(x)u=f(x), dv=xdxdv = x dxdv=xdx。则 du=f′(x)dxdu = f'(x)dxdu=f′(x)dx, v=x22v=\frac{x^2}{2}v=2x2​。

∫01xf(x)dx=[f(x)⋅x22]01−∫01x22f′(x)dx

\begin{align*}

\int_0^1 x f(x) d x &= \left[f(x) \cdot \frac{x^2}{2}\right]_0^1 - \int_0^1 \frac{x^2}{2} f^{\prime}(x) d x \\

\end{align*}

∫01​xf(x)dx​=[f(x)⋅2x2​]01​−∫01​2x2​f′(x)dx​

计算边界项：

f(1)=∫112sin⁡ttdt=∫11sin⁡ttdt=0f(1) = \int_1^{1^2}\frac{\sin t}{t} d t = \int_1^1\frac{\sin t}{t} d t = 0f(1)=∫112​tsint​dt=∫11​tsint​dt=0。

f(0)=∫102sin⁡ttdt=∫10sin⁡ttdtf(0) = \int_1^{0^2}\frac{\sin t}{t} d t = \int_1^0\frac{\sin t}{t} d tf(0)=∫102​tsint​dt=∫10​tsint​dt.

f(x)⋅x22∣01=f(1)⋅122−lim⁡x→0+f(x)⋅x22=0⋅12−lim⁡x→0+(∫1x2sin⁡ttdt⋅x22)\left.f(x) \cdot \frac{x^2}{2}\right|_0^1 = f(1)\cdot\frac{1^2}{2} - \lim_{x\to 0^+} f(x)\cdot\frac{x^2}{2} = 0 \cdot \frac{1}{2} - \lim_{x\to 0^+} \left(\int_1^{x^2}\frac{\sin t}{t} d t \cdot \frac{x^2}{2}\right)f(x)⋅2x2​​01​=f(1)⋅212​−limx→0+​f(x)⋅2x2​=0⋅21​−limx→0+​(∫1x2​tsint​dt⋅2x2​)

由于 ∫10sin⁡ttdt\int_1^0 \frac{\sin t}{t} dt∫10​tsint​dt 是一个常数 (记为 C0C_0C0​)， lim⁡x→0+f(x)=C0\lim_{x\to 0^+} f(x) = C_0limx→0+​f(x)=C0​。

所以 lim⁡x→0+f(x)⋅x22=C0⋅0=0\lim_{x\to 0^+} f(x)\cdot\frac{x^2}{2} = C_0 \cdot 0 = 0limx→0+​f(x)⋅2x2​=C0​⋅0=0。

因此，边界项 f(x)⋅x22∣01=0−0=0\left.f(x) \cdot \frac{x^2}{2}\right|_0^1 = 0 - 0 = 0f(x)⋅2x2​​01​=0−0=0。

继续计算积分项：

∫01xf(x)dx=0−∫01x22⋅2sin⁡x2xdx=−∫01xsin⁡x2dx

\begin{align*}

\int_0^1 x f(x) d x &= 0 - \int_0^1\frac{x^2}{2}\cdot \frac{2\sin x^2}{x} d x \\

&= -\int_0^1 x\sin x^2 d x

\end{align*}

∫01​xf(x)dx​=0−∫01​2x2​⋅x2sinx2​dx=−∫01​xsinx2dx​

对于 ∫01xsin⁡x2dx\int_0^1 x\sin x^2 d x∫01​xsinx2dx，令 w=x2w=x^2w=x2。则 dw=2xdx⇒xdx=12dwdw = 2x dx \Rightarrow x dx = \frac{1}{2}dwdw=2xdx⇒xdx=21​dw。

当 x=0,w=0x=0, w=0x=0,w=0。当 x=1,w=1x=1, w=1x=1,w=1。

−∫01xsin⁡x2dx=−∫01sin⁡(x2)(xdx)=−12∫01sin⁡wdw=−12[−cos⁡w]01=12cos⁡w∣01=12(cos⁡1−cos⁡0)=12(cos⁡1−1)

\begin{align*}

-\int_0^1 x\sin x^2 d x &= -\int_0^1 \sin(x^2) (x dx) \\

&= -\frac{1}{2}\int_0^1\sin w dw \\

&= -\frac{1}{2}\left[-\cos w\right]_0^1 \\

&= \left.\frac{1}{2}\cos w\right|_0^1 \\

&= \frac{1}{2}(\cos 1 - \cos 0) \\

&= \frac{1}{2}(\cos 1 - 1)

\end{align*}

−∫01​xsinx2dx​=−∫01​sin(x2)(xdx)=−21​∫01​sinwdw=−21​[−cosw]01​=21​cosw​01​=21​(cos1−cos0)=21​(cos1−1)​

所以，∫01xf(x)dx=12(cos⁡1−1)\int_0^1 x f(x) d x = \frac{1}{2}(\cos 1 - 1)∫01​xf(x)dx=21​(cos1−1)。

总结

定积分的计算方法主要包括：

直接法：利用基本积分公式和运算法则。凑微分法 (第一类换元法)：将被积函数凑成 g(ϕ(x))ϕ′(x)g(\phi(x))\phi'(x)g(ϕ(x))ϕ′(x) 的形式。变量代换法 (第二类换元法)：通过 x=φ(t)x=\varphi(t)x=φ(t) 或 t=ψ(x)t=\psi(x)t=ψ(x) 进行变量替换，关键在于选取合适的代换并正确改变积分限。分部积分法：用于处理两类不同函数乘积的积分。

在实际计算中，还需注意：

换元必换限：进行变量代换时，积分的上下限必须相应改变。奇偶性应用：当积分区间关于原点对称时（如 [−a,a][-a, a][−a,a]），可利用被积函数的奇偶性简化计算：奇函数积分为0，偶函数积分可简化为 2∫0af(x)dx2\int_0^a f(x)dx2∫0a​f(x)dx。变上限积分函数的处理：通常结合分部积分法和变上限积分求导法则。

灵活运用这些方法，并结合积分的性质（如区间可加性），可以有效解决各种定积分问题。